Πανελλαδικές Εξετάσεις: Αυτά είναι τα θέματα και οι απαντήσεις των Μαθηματικών στα ΕΠΑΛ

Οι Πανελλαδικές Εξετάσεις 2026 συνεχίστηκαν σήμερα, Τρίτη 2 Ιουνίου, για τους υποψηφίους των Επαγγελματικών Λυκείων, οι οποίοι εξετάστηκαν στο μάθημα των Μαθηματικών – Άλγεβρα.

Το υπουργείο Παιδείας ανακοίνωσε τα θέματα στα οποία κλήθηκαν να απαντήσουν οι μαθητές των ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑΛ, σε μία από τις βασικές εξεταστικές ημέρες του προγράμματος. Το ενδιαφέρον μαθητών, γονέων και εκπαιδευτικών παραμένει υψηλό, καθώς η εξέταση στα Μαθηματικά αποτελεί κρίσιμο σταθμό για χιλιάδες υποψηφίους που διεκδικούν την εισαγωγή τους στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση.

ΑΥΤΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ)

Οι απαντήσεις

Θέμα Α: Θεωρία και σωστό – λάθος

Στο Α1, ζητήθηκε η απόδειξη ότι το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων είναι ίσο με 1. Από τον ορισμό της σχετικής συχνότητας έχουμε:

fᵢ = νᵢ / ν

Άρα:

f₁ + f₂ + … + fκ = (ν₁ + ν₂ + … + νκ) / ν = ν / ν = 1.

Στο Α2, η διάμεσος ενός δείγματος ν παρατηρήσεων, αφού αυτές διαταχθούν σε αύξουσα σειρά, είναι η μεσαία παρατήρηση όταν το ν είναι περιττός αριθμός, ενώ όταν το ν είναι άρτιος αριθμός είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων.

Στο Α3, η συνάρτηση της πρώτης παραγώγου f΄ ορίζεται στο σύνολο των σημείων όπου η f είναι παραγωγίσιμη και δίνεται από τον τύπο:

f΄(x) = lim[h→0] {f(x+h) − f(x)} / h.

Στο Α4, οι σωστές απαντήσεις είναι:

α. Λάθος
β. Σωστό
γ. Σωστό
δ. Λάθος
ε. Σωστό

Θέμα Β: Παράγωγος, μονοτονία και εφαπτομένη

Δόθηκε η συνάρτηση:

f(x) = 1/3 x³ − x² − 3x + 1, με x ∈ ℝ.

Στο Β1, επειδή η f είναι πολυωνυμική, είναι παραγωγίσιμη στο ℝ. Η παράγωγός της είναι:

f΄(x) = x² − 2x − 3.

Στο Β2, εξετάζουμε το πρόσημο της παραγώγου:

f΄(x) ≥ 0 ⇔ x² − 2x − 3 ≥ 0
⇔ (x + 1)(x − 3) ≥ 0.

Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (-∞, -1] και [3, +∞), ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο [-1, 3].

Στη θέση x = -1 παρουσιάζει τοπικό μέγιστο με τιμή:

f(-1) = 8/3.

Στη θέση x = 3 παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο με τιμή:

f(3) = -8.

Στο Β3, ζητήθηκε η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α(0, f(0)). Έχουμε:

f(0) = 1
f΄(0) = -3.

Άρα η εφαπτομένη έχει εξίσωση:

y = -3x + 1.

Στο Β4, το όριο είναι:

lim[x→-1] f΄(x)/(x+1)
= lim[x→-1] (x² − 2x − 3)/(x+1)
= lim[x→-1] [(x+1)(x−3)]/(x+1)
= lim[x→-1] (x−3)
= -4.

Θέμα Γ: Στατιστική επεξεργασία δείγματος

Δόθηκε το δείγμα:

4, 5, 4, κ, 0, 3, 7.

Στο Γ1, αφού ο μέσος όρος είναι 4, το άθροισμα των παρατηρήσεων είναι:

7 · 4 = 28.

Οι γνωστές τιμές έχουν άθροισμα:

4 + 5 + 4 + 0 + 3 + 7 = 23.

Άρα:

κ = 28 − 23 = 5.

Για κ = 5, το δείγμα γίνεται:

4, 5, 4, 5, 0, 3, 7.

Στο Γ2, σε αύξουσα σειρά:

0, 3, 4, 4, 5, 5, 7.

Η διάμεσος είναι η μεσαία, δηλαδή:

δ = 4.

Στο Γ3, η διακύμανση είναι:

s² = [(4−4)² + (5−4)² + (4−4)² + (5−4)² + (0−4)² + (3−4)² + (7−4)²] / 7
s² = (0 + 1 + 0 + 1 + 16 + 1 + 9) / 7
s² = 28 / 7 = 4.

Στο Γ4, η τυπική απόκλιση είναι:

s = √4 = 2.

Ο συντελεστής μεταβολής είναι:

CV = s / x̄ · 100% = 2 / 4 · 100% = 50%.

Επειδή το CV είναι μεγαλύτερο από 10%, το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

Θέμα Δ: Περίμετρος ορθογωνίου και ελάχιστη τιμή

Στο Δ1, το ορθογώνιο έχει εμβαδόν 100 m². Αν η μία πλευρά είναι x, τότε η άλλη είναι:

100 / x.

Η περίμετρος είναι:

Π(x) = 2x + 2 · 100/x
Π(x) = 2x + 200/x, με x > 0.

Στο Δ2, παραγωγίζουμε:

Π΄(x) = 2 − 200/x²
Π΄(x) = 2(x² − 100)/x².

Για x > 0, η παράγωγος είναι αρνητική στο (0, 10), μηδενίζεται στο x = 10 και είναι θετική στο (10, +∞). Άρα η περίμετρος μειώνεται μέχρι το x = 10 και στη συνέχεια αυξάνεται.

Η ελάχιστη περίμετρος προκύπτει όταν:

x = 10.

Τότε η άλλη πλευρά είναι:

100 / 10 = 10.

Επομένως, το ορθογώνιο με τη μικρότερη περίμετρο είναι τετράγωνο.

Στο Δ3, για x₁, x₂ ∈ (0,10) με x₁ < x₂, η συνάρτηση Π είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα:

Π(x₁) > Π(x₂).

Επομένως ο αριθμητής Π(x₁) − Π(x₂) είναι θετικός, ενώ ο παρονομαστής x₁ − x₂ είναι αρνητικός. Άρα:

Α < 0.

Συνεπώς, η παράσταση έχει αρνητικό πρόσημο.

Τα θέματα των Μαθηματικών – Άλγεβρα στα ΕΠΑΛ

Οι υποψήφιοι προσήλθαν στα εξεταστικά κέντρα το πρωί, ακολουθώντας τις οδηγίες που έχουν δοθεί για τη διεξαγωγή των Πανελλαδικών. Μετά την ολοκλήρωση της διαδικασίας, τα θέματα δόθηκαν στη δημοσιότητα, ώστε μαθητές και καθηγητές να έχουν πλήρη εικόνα για το επίπεδο δυσκολίας και τη δομή της εξέτασης.

Η Άλγεβρα στα ΕΠΑΛ θεωρείται μάθημα με ιδιαίτερη βαρύτητα, καθώς εξετάζει βασικές μαθηματικές δεξιότητες, με εφαρμογές που συνδέονται τόσο με τη γενική παιδεία όσο και με τεχνικές και επαγγελματικές κατευθύνσεις. Οι απαντήσεις και οι αναλυτικές εκτιμήσεις των εκπαιδευτικών αναμένονται με ενδιαφέρον, καθώς θα δείξουν εάν τα θέματα κινήθηκαν σε αναμενόμενα επίπεδα ή αν παρουσίασαν αυξημένες απαιτήσεις.

Ποια μαθήματα ακολουθούν την Πέμπτη

Το πρόγραμμα των Πανελλαδικών για τα ΕΠΑΛ συνεχίζεται την Πέμπτη 4 Ιουνίου, με τους υποψηφίους να εξετάζονται σε μαθήματα ειδικότητας. Συγκεκριμένα, στο πρόγραμμα περιλαμβάνονται τα εξής μαθήματα:

Ανατομία – Φυσιολογία ΙΙ, Αρχές Οικονομικής Θεωρίας, Δίκτυα Υπολογιστών και Αρχές Βιολογικής Γεωργίας.

Οι εξετάσεις θα συνεχιστούν τις επόμενες ημέρες με βάση το επίσημο πρόγραμμα του υπουργείου Παιδείας. Το Σάββατο 6 Ιουνίου ακολουθούν, μεταξύ άλλων, μαθήματα όπως Ηλεκτροτεχνία 2, Αρχιτεκτονικό Σχέδιο, Προγραμματισμός Υπολογιστών και Ιστορία Σύγχρονης Τέχνης. Στη συνέχεια, οι υποψήφιοι θα εξεταστούν και σε άλλα μαθήματα ειδικότητας, ανάλογα με τον τομέα και την κατεύθυνσή τους.

Τι απαγορεύεται στην αίθουσα των εξετάσεων

Οι υποψήφιοι πρέπει να είναι ιδιαίτερα προσεκτικοί με τα αντικείμενα που έχουν μαζί τους κατά την είσοδό τους στην αίθουσα. Οι κανονισμοί των Πανελλαδικών είναι αυστηροί και η παραβίασή τους μπορεί να οδηγήσει ακόμη και σε μηδενισμό του γραπτού.

Δεν επιτρέπεται να φέρουν βιβλία, τετράδια, σημειώσεις, διορθωτικό υγρό ή ταινία, κινητά τηλέφωνα, υπολογιστικές μηχανές, καθώς και οποιοδήποτε ηλεκτρονικό μέσο μετάδοσης, αποθήκευσης πληροφοριών ή επικοινωνίας. Επιτρέπονται μόνο τα αντικείμενα που προβλέπονται από τις οδηγίες της Κεντρικής Επιτροπής Εξετάσεων και της αρμόδιας Διεύθυνσης.

Την ευθύνη για τον έλεγχο έχουν οι επιτηρητές, οι οποίοι οφείλουν να διασφαλίζουν την ομαλή και αδιάβλητη διεξαγωγή της διαδικασίας.

Πότε μπορεί να μηδενιστεί το γραπτό

Σύμφωνα με τους κανόνες των εξετάσεων, υποψήφιος μπορεί να απομακρυνθεί από την αίθουσα και το γραπτό του να βαθμολογηθεί με μηδέν, εφόσον διαπιστωθεί ότι κατέχει απαγορευμένο αντικείμενο, αντιγράφει από σημειώσεις, βιβλίο ή γραπτό άλλου εξεταζόμενου, προκαλεί αναστάτωση ή δεν συμμορφώνεται με τις υποδείξεις των επιτηρητών.

Πριν επιβληθεί η ποινή, η Λυκειακή Επιτροπή καλεί τον υποψήφιο σε προφορική απολογία και συντάσσει σχετικό πρακτικό. Η απόφαση πρέπει να είναι πλήρως αιτιολογημένη, με σαφή αναφορά στους λόγους μηδενισμού, ενώ τυχόν αποδεικτικά στοιχεία επισυνάπτονται στο πρακτικό.

Οι Πανελλήνιες συνεχίζονται με αυξημένο ενδιαφέρον, καθώς κάθε εξεταστική ημέρα αποτελεί σημαντικό βήμα για την πορεία των υποψηφίων προς τις σχολές της επιλογής τους.

• ΕΠΑΛ
• μαθηματικά
• Πανελλαδικές Εξετάσεις